fundamental
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍDOUČOVÁNÍ

 

Přidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář

nezname cislo

30.11.2014 18:38

Neznámé číslo je dělitelné právě třemi různými prvočísly. Když tato prvočísla srov-
náme vzestupně, platí následující:
• Rozdíl druhého a prvního prvočísla je polovinou rozdílu třetího a druhého prvočísla.
• Součin rozdílu druhého a prvního prvočísla s rozdílem třetího a druhého prvočísla
je násobkem 17.
Určete nejmenší číslo, které má všechny výše uvedené vlastnosti.

 

 Přidat řešení úlohy   Přidat komentář 


Řešení číslo 1, autor [matematika], 23.05.2017 17:21

Neznámé číslo x=abc. Platí b-a=$1/2$(c-b), (b-a)(c-b)=k17 k>0, a<b<c prvočísla.

Dosazením do druhé podmínky za výraz (c-b) z první podmínky dostaneme:

$2(b-a)^2=k17$
$b-a=√{k{17/2}}$

Dosazením zpět do první podmínky:
$c-b=2√{k{17/2}}=√{4*k*{17/2}}=√{k34}$

Aby (c-b) bylo přirozené číslo, za k zvolíme 34, což je nejmenší přirozené číslo, které tuto podmínku splňuje.

Dosazením za k, a užitím elementárních úprav, dostaneme vztahy:
b=a+17
c=a+51

Hledané číslo bude nejmenší v tom případě, kdy i prvočísla a,b,c budou nejmenší možná taková, která splňují odvozené vztahy. Zvolíme-li za a nejmenší prvočíslo a=2, získáme b=19, c=53. Neznámé číslo se potom rovná 2*19*53=2014.