fundamental
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

 

Přidat řešení úlohyPřidat komentář

nezname cislo

Neznámé číslo je dělitelné právě třemi různými prvočísly. Když tato prvočísla srov-
náme vzestupně, platí následující:
• Rozdíl druhého a prvního prvočísla je polovinou rozdílu třetího a druhého prvočísla.
• Součin rozdílu druhého a prvního prvočísla s rozdílem třetího a druhého prvočísla
je násobkem 17.
Určete nejmenší číslo, které má všechny výše uvedené vlastnosti.


Řešení číslo 1, autor [matematika.fundamental.cz], přidáno 01.12.2014 22:22

Neznámé číslo si označme X. Tři prvočísla označme od nejmenšího a, b, c.

Ze zadání známe následující vztahy:

X = a * b * c (1)

b - a = (c - b) / 2 (2)

(b - a) * (c - b) = k * 17 (3), kde k je přirozené číslo.

Dosazením z (2) do (3) získáme:

(c - b) * (c - b) = k * 34 (4)

(b - a) * (b - a) = k * 17 / 2 (5)

Nyní hledáme nejmenší hodnotu k takovou, že druhá odmocnina z výrazu k*34 na pravé straně rovnice (4) a druhá odmocnina z výrazu k*17/2 na pravé straně rovnice (5) budou přirozená čísla dělitelná dvěma. Přirozená musejí být, protože jak (c-b) tak i (b-a) jsou přirozená. A sudá (dělitelná dvěma) musejí být proto, protože a,b,c jsou prvočísla (jež jsou nutně lichá) a proto jejich rozdíly (c-d) a (b-a) musejí být sudá čísla.
Hledáme tedy druhou odmocninu z k*34. Aby výsledek bylo přirozené číslo, musí k splňovat podmínku k=m*m*34, kde m je prvočíslo. Odmocnina z k*34=m*m*34*34 se potom bude rovnat m*34.
Zkusíme vzít m=1, k=34. Tato hodnota nesplňuje podmínku sudého čísla ve výrazu v rovnici (5): 34*17/2=17*17=289.

Zkusíme vzít m=2, k=136. Tato hodnota vyhovuje podmínkám. Dosadíme tedy do rovnic (4) a (5). Získáme:

(c - b) = 68 (6)

(b - a) = 34 (7)

Hodnoty a,b,c vyjádříme pomocí hodnoty nejmenšího prvočísla a z rovnic (6) a (7):

a=a
b=a+34
c=a+102 (8)

V tuto chvíli neznám lepší řešení, než postupně za a volit prvočísla od 1 výše a sledovat, zda po dosazení do (8) budou b i c prvočísly.

Tímto postupem jsem získal hodnoty a=7, b=41, c=109. Hledané číslo X se tedy rovná X = 7 * 41 * 109 = 31283.


Řešení číslo 2, autor [matematika.fundamental.cz], přidáno 23.05.2017 17:21

Neznámé číslo x=abc. Platí b-a=$1/2$(c-b), (b-a)(c-b)=k17 k>0, a<b<c prvočísla.

Dosazením do druhé podmínky za výraz (c-b) z první podmínky dostaneme:

$2(b-a)^2=k17$
$b-a=√{k{17/2}}$

Dosazením zpět do první podmínky:
$c-b=2√{k{17/2}}=√{4*k*{17/2}}=√{k34}$

Aby (c-b) bylo přirozené číslo, za k zvolíme 34, což je nejmenší přirozené číslo, které tuto podmínku splňuje.

Dosazením za k, a užitím elementárních úprav, dostaneme vztahy:
b=a+17
c=a+51

Hledané číslo bude nejmenší v tom případě, kdy i prvočísla a,b,c budou nejmenší možná taková, která splňují odvozené vztahy. Zvolíme-li za a nejmenší prvočíslo a=2, získáme b=19, c=53. Neznámé číslo se potom rovná 2*19*53=2014.


Komentář číslo 1, autor aninkkaa, přidáno 02.12.2014 19:02

Dekuji vam moc, opravdu mi priklady pomohli sama bych je asi nedokazala ale po vysvetleni je to vlastne jednoduche. :D


Komentář číslo 2, autor Lukáš Havlíček, přidáno 05.01.2015 09:46

A co takhle čísla 2,19 a 53?


Komentář číslo 3, autor GoGoManTV, přidáno 11.01.2015 10:35

to lomítko je delenie alebo čo ??


Komentář číslo 4, autor [matematika.fundamental.cz], přidáno 20.01.2015 19:25

Pro pana Havlíčka:

Máte pravdu, čísla 2,19,53 jsou řešením této úlohy. Výpočet uvedený v "Řešení 1" opomenul fakt, že číslo 2 je jediné sudé prvočíslo.


Komentář číslo 5, autor [matematika.fundamental.cz], přidáno 20.01.2015 19:26

Ano, lomítko znamená dělení.


Notice: Undefined index: HTTP_REFERER in /3w/wz.cz/f/fundamental/matematika/vmail.php on line 28