fundamental
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

 

Přidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář

Ořechy

16.10.2014 23:23

Pepa nasbíral do košíku poslední spadlé ořechy a zavolal na partu holek, ať se o ně podělí. Dal si ale podmínku : první si vezme 1 ořech a desetinu zbytku, druhý si vezme 2 ořechy a desetinu nového zbytku, třetí si vezme 3 ořechy a desetinu dalšího zbytku a tak dále. Takto se podařilo rozebrat všechny ořechy a přitom každá dostala stejně.
Určete, kolik Pepa nasbíral ořechů a kolik se o ně dělilo děvčat.


Řešení číslo 1, autor [matematika], 31.03.2018 20:28

Počet dívek označíme $D$, celkový počet ořechů $N$, a počet ořechů, který dostala každá z dívek $n$.

Ze zadání víme, že všechny ořechy se rovnoměrně rozdělily mezi dívky:

$N = Dn$ (1)

Zapíšeme, kolik ořechů dostala první dívka:

$n = 1 + {N - 1}/10$

Upravujeme:

$10n = 10 + N - 1$
$N = 10n - 9$ (2)

Máme vztah mezi celkovým počtem ořechů a počtem ořechů každé dívky. Nyní napíšeme vztah pro počet ořechů, který dostala poslední dívka:

$n = D + {N - (D-1)n - D}/10$

Upravujeme:

$10n = 10D + N - Dn + n - D$
$9n = 9D + N - Dn$

Podle vztahu (1) je rozdíl $N - Dn$ roven nule a tedy:

$9n = 9D$
$n = D$ (3)

Zjistili jsme, že každá dívka dostala stejný počet ořechů jako je počet dívek. Dosadíme za $n$ do (1) a (2):

$N = D^2$ (4)
$N = 10D - 9$

Řešíme soustavu rovnic - od první rovnice odečteme druhou:

$D^2 - 10D + 9 = 0$
$D_1 = 9$
$D_2 = 1$

Dosadíme do (4) a získáme:

$N_1 = 81$
$N_2 = 1$

Výsledkem tedy jsou dvě řešení:

1) 9 dívek si rozdělilo celkem 81 ořechů (a každá jich dostala 9).
2) Jedna dívka dostala jeden ořech.

Řešení číslo 2 je matematicky správně. Otázka ovšem je, jestli vyhovuje zadání úlohy, kde se výslovně mluví o minimálně třech dívkách ...